Esimerkkejä tason algebrallisista käyristä

Examples Plane Algebraic Curves



Ratkaisu:

Entä affiinitasot$ Phi_n (c, t) = 0 $jotka luokittelevat$ (c, t) $sellainen että$ t $on tarkka ajanjakso$ n $toisen asteen kartan iteraation alla$ f_c (X) = X^2+c $? Näitä kutsutaan usein dynatomiset käyrät ja niitä on tutkittu paljon viime vuosina, varsinkin kun niiden järkevien kohtien kuvaaminen liittyy dynaamiseen yhtenäiseen rajallisuusolettamukseen. Nämä käyrät ovat pelkistymättömiä (Bousch), ja niiden suvulle (Morton) on mukava kaava, joka osoittaa, että suku menee äärettömään. On jopa jonkin verran työtä (Poonen, Doyle, ...), joka osoittaa, että myös gonaalisuus kasvaa. Perusrakenteesta näet esimerkiksi kirjani kohdat 4.1 ja 4.2 Dynaamisten järjestelmien aritmetiikka . Yleisemmin ihmiset tutkivat dynatomisia käyrää varten$ X^d+c $.

(Olen huijannut hieman, täytyy lisätä muutama lisäpiste käyrään, jossa piste on$ t $on virallinen aika$ n $, '' mutta todellinen ajanjakso on pienempi kuin$ n $. Tämä on Milnorin terminologia.)




Kaaristoa n -nen kertaluvun heijastuksesta ympyrästä esitti Francois Ziegler kommentissa. Sen tiedetään todella olevan algebrallinen. Kuten huomautettiin, n-nnen kertaluvun heijastuksen kaustinen käyrä mielivaltaisista pistelähteistä (myös äärettömyydestä) johti Holditch 'On the nth Caustic, by Reflexion from a Circle', The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, voi. 2, Lontoo, 1858, s. 301–322. Tämä paperi sisältää todisteen siitä, että hänen käyräluokkansa on todella algebrallinen (ks. S. 322, osa 'Yhtälö').



Valitettavasti tämä panos on hieman aliarvioitu/jätetty huomiotta, mikä johtaa osittaisten tulosten uudelleen löytämiseen myöhemmin. Esimerkiksi rinnakkaisten valonsäteiden tapaus (lähde äärettömyydessä) ja ympyrän valonsäteiden pistelähde mielivaltaisen heijastusjärjestyksen vuoksi on löydetty uudelleen ja osoitettu algebralliseksi Bromwichin The Caustic, by Reflection, a Circle -tapahtumasta. . '' American Journal of Mathematics, 1904, Vuosikerta 26, 33-44. Erityisesti s. 43-44. Kuten Bromwich huomauttaa, nämä tapaukset vastaavat epitrokoideja, joilla on tietyt säteilysuhteet.



Varoituksen sana Holditch -emäksen luonnollisuudesta. Säteet heijastuvat eri pituuksilla tilauksen kasvaessa. Tämä aiheuttaa ristiriidan säteilynipun säteiden välillä. Joten järjestyksen tasa -arvo Holditchin johdannossa ei ole fyysistä, jos otetaan huomioon matkaetäisyys (esimerkiksi rajallisen ajonopeuden kautta). Siksi Holditchin mukaan n: nnen kertaluvun heijastuskäyrä on jaettava eri järjestyssegmentteihin fyysisen syövyttävän aineen aikaansaamiseksi. Lyhyesti sanottuna Holditch -kaustiset sisältävät kaikki tarvittavat tiedot fyysisten ilmiöiden palauttamiseksi, mutta heijastusjärjestyserot on otettava huomioon (ks. Tiede 161 (2006): 25-41.)

Kun otetaan huomioon mikä tahansa algebrallinen käyrä heijastimena, Josse ja Pene ('Kaustisen asteen heijastumisesta.' 'Communications in Algebra 42.6 (2014): 2442-2475.) Antavat emäksen järjestyksen heijastumalla algebralliseksi käyräksi. Tämä antaa erilaisen kahvan algebrallisen käyrän järjestyksessä. Vaikka Holditch -emäksen järjestys liittyy suoraan heijastusjärjestykseen, tässä se tulee heijastimen järjestykseen.


Epäilen, että etsit tätä, mutta pienin polynomi pakattuna$ n $yhdenmukaiset levyt neliössä voivat olla mielivaltaisen korkeita:



Szabó, Péter Gábor, Mihály Csaba Markót ja Tibor Csendes. 'Globaali optimointi geometriassa - ympyräpakkaus neliöön.' Jänne Esseitä ja kyselyitä globaalista optimoinnista , s. 233-265. Springer, Boston, MA, 2005. Lataa PDF -tiedosto.


N13
Pienin polynomi kohteelle$ n = 13 $. s.17, Szabó et ai.
Minimipolynoomi on johdettu ympyrän koskettimia kuvaavasta toisen asteen yhtälösarjasta. Se, ovatko nämä polynomit 'luonnossa esiintyviä', on harkintakysymys.